Сущность и последствия гетероскедастичности

6.3. Сущность и последствия гетероскедастичности

Равенство дисперсий возмущений ei регрессии — гомоскедастичность — является обязательным условием линейной классической модели. Формально оно записывается в виде: åe=s2En.

Однако на практике это условие часто нарушается, и мы имеем дело с гетероскедастичностью. В парной регрессии это может проявляться так: с ростом объясняющей переменной Х растет в среднем значение результирующей переменной Y и одновременно увеличивается разброс точек относительно тренда (рис. 6.1 и 6.2).

Рис. 6.1. Явление гомоскедастичности Рис. 6.2. Явление гетероскедастичности

Рассмотрим последствия гетероскедастичности. Пусть для оценки регрессии Y по Х1, … , Хp мы применили обычный МНК и получили оценочный вектор b для вектора параметров b: b=(X’X)-1X’Y. Если вместо Y подставить его модель Y=Xb+e, то после несложных преобразований получим (заметим, что вектор b зависит от случайного вектора e):

Эта оценка — несмещенная и состоятельная для обобщенной линейной модели множественной регрессии, в том числе для случая гетероскедастичности (это очевидно, если учесть М(e)=0). Следовательно, для построения регрессионной модели и использования ее в качестве прогностического инструмента обычный метод наименьших квадратов применим и в случае гетероскедастичности модели.

Неприятности начинаются, когда мы хотим оценить точность модели, ее значимость, получить интервальные оценки ее коэффициентов. Результаты оказались бы непригодными.

Дело в том, что при расчете t — и F-статистик для тестирования гипотез важное значение имеют оценки дисперсий и ковариаций оценок bi, т. е. ковариационная матрица åb. Если модель не является классической, то ковариационная матрица вектора возмущений åe¹s2En, и вместо åb=s2(X’X)-1 мы имеем существенно иную ковариационную матрицу:

åb = (X’X)-1X’WX(X’X)-1.

Добавим также, что несмещенная и состоятельная оценка в случае гетероскедастичности не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова, т. е. эффективной. Это может привести к тому, что оценка b будет значительно отличаться от истинного значения b.

6.4. Тесты на гетероскедастичность

Для проверки наличия или отсутствия гетероскедастичности используются тесты. Соответствующая нулевая гипотеза Но: гетероскедастичность отсутствует (присутствует гомоскедастичность).

Тест ранговой корреляции Спирмена использует следующую идею. Модули остатков çеiç являются оценками СКО si, поэтому при гетероскедастичности модули остатков çеiç и значения регрессоров xi будут коррелированы.

Коэффициент ранговой корреляции рассчитывается по формуле:

где di — разность между рангами значений xi и ei.

Коэффициент ранговой корреляции значим на уровне значимости a, если выполняется условие:

где t1-a, n-2 — табличное значение t-критерия Стьюдента с уровнем значимости a и числом степеней свободы (n-2).

Тест Голдфелда-Квандта можно применять тогда, когда ошибки регрессии имеют НЗР. Пусть средние квадратические отклонения ошибок si пропорциональны значениям переменной Х (постоянство относительного, а не абсолютного разброса возмущений). Упорядочим наблюдения в порядке возрастания Х и выберем m первых и m последних наблюдений (две m-выборки).

Гипотеза Но о наличии гомоскедастичности будет равносильна утверждению о том, что две нормально распределенные m-выборки имеют одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий по критерию Фишера-Снедекора отвергается, если выполняется неравенство:

Мощность теста оказывается максимальной, если выбирать m»n/3.

Тест Уайта в отличие от двух рассмотренных выше тестов позволяет проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров. Для этого предполагается, что существует функция, которая свяжет дисперсии ошибок с регрессорами. Обычно в качестве таковой берется квадратичная функция:

После выбора вида функции последняя оценивается с помощью уравнения регрессии для квадратов остатков:

где ui — ошибка регрессии в i-м наблюдении.

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (условие f=const) принимается, если регрессия (6.16) незначима.