Эконометрическая модель как черный ящик

Существует много оснований для классификации моделей, например:

—  по природе моделируемых явлений — экономические, экологические, производственные, социальные, политические и пр.;

—  по форме представления — математические, механические, компьютерные и пр.;

—  по воспроизводимым свойствам объектов моделирования — поведенческие, структурные, функциональные и пр.;

—  по отношению ко времени — статические (время в явном виде не присутствует) и динамические;

—  по свойству детерминированности либо стохастичности.

В эконометрике в основном рассматриваются объекты, которые можно представить в виде “черного ящика” (рис.1.1). Черный ящик имеет входы и зависящие от них выходы. Мы не знаем, как в действительности выходы зависят от входов. Но зато мы имеем статистические данные наблюдений по входам и выходам. На этом основании мы и строим “поведенческую” модель, достаточно хорошо (“похоже”) связывающую функционально зависимость выходов от входов. Чаще всего такой моделью является линейная функция с несколькими переменными.

Классифицируем подобную типичную эконометрическую модель. Она будет: экономическая, математическая, поведенческая, статическая или динамическая, детерминированная (хотя моделируемое явление — стохастическое).

Рис. 1.1. Эконометрическая модель как черный ящик

Охарактеризуем типы переменных черного ящика:

—  Х = (X1, X2,…, Xp) — вектор наблюдаемых, входных, существенных и потому объясняющих переменных (факторов, регрессоров, предикторов);

—  Z = (Z1, Z2,…, Zr) — вектор наблюдаемых, входных, несущественных переменных-факторов;

—  W = (W1, W2,…, Ws) — вектор ненаблюдаемых, входных, несущественных переменных-факторов;

—  Y — скаляр — наблюдаемая, выходная (целевая, результирующая, объясняемая) переменная;

—  e — скаляр — наблюдаемая при исследовании модели и ненаблюдаемая при использовании модели (например, при прогнозировании мы не можем точно знать ошибку) выходная случайная величина — ошибка, возмущение.

Переменная Y является случайной величиной (СВ) с условной плотностью вероятностей f x1, x2, … , xp(y). Обычно делается предположение о ее нормальности (распределена по нормальному — гауссовому — закону распределения), что позволяет проводить более глубокий анализ качества эконометрической модели.

Объясняющие переменные X1, X2, … , Xp могут быть как случайными, так и детерминированными. Различие между ними часто условно. Например, для пассажира интервал времени между поездами, отправляющимися с Северного вокзала на г. Светлогорск, есть СВ, а для диспетчера — строго детерминированная, предопределенная расписанием.

Классическая эконометрическая модель рассматривает вектор Х как детерминированный, однако основные результаты исследования модели остаются теми же и для случайного Х.

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид:

В качестве представителя СВ Y естественно взять ее математическое ожидание (МО). В нашем случае мы имеем дело с условным математическим ожиданием СВ Y: Мx1, x2, … , xp(Y). Как видно, Мх(Y) — так для краткости будем обозначать условное МО — является детерминированной функцией от р переменных.

Уравнение Мх(Y)=f(x1, x2, … , xp) называется уравнением регрессии. Таким образом, эконометрическая модель всегда (за исключением особых случаев) является регрессионной моделью. Обычно для любого набора значений объясняющих переменных Х при взятии математического ожидания от обеих частей (1.1) будем иметь М(e)=0 — в регрессионной модели математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Иначе говоря, e — центрированная СВ.

В качестве примера приведем регрессионную модель, отображающую зависимость объема потребления Y от уровня дохода Х (ден. ед./год), предложенную шведским экономистом Л. Торнквистом. Модель состоит не из одной, а из трех различных функций и дополнительного условия баланса (рис.1.2).

Рис. 1.2. Эконометрическая модель связи потребления Y и дохода X

Для предметов 1-й необходимости (питание, одежда, жилье и пр):

Некоторые свойства функции у1, которые отражают смысл явления:

—  при доходе х, близком к нулю, у1 идет вдоль биссектрисы: все доходы расходуются на предметы первой необходимости: у1»х,

—  при заметном росте доходов х потребление у1 асимптотически приближается к пределу: у1 =bо.

Для предметов средней необходимости (газеты, пылесос, стиральная машина и пр):

Свойства функции у2:

—  расходы на предметы средней необходимости начинаются (у2>0) при уровне доходов х > b1, поэтому у2 (и у3 по этой же причине) требует доопределения;

—  при значительном росте доходов х потребление у2 асимптотически приближается к тому же пределу у2 =bо;

—  из второго свойства вытекает: пределы расходов на предметы первой и средней необходимости равны между собой (это частный случай конкретной экономики).

Для предметов роскоши (предметы искусства, драгоценности, престижный дом и пр.):

Свойство функции у3:

—  расходы у3 на предметы роскоши при неограниченном увеличении доходов х также неограниченно увеличиваются.

Теперь заметим, что если доходы х расходуются только на цели у1, у2, у3, то сумма последних должна в точности быть равной доходам. Так мы приходим к 4-й — совместной — функции в исследуемой эконометрической модели (см. подробнее параграф 1.3: системы совместных уравнений):

1.2. Данные наблюдений для эконометрического моделирования

Для построения эконометрической модели используется выборка значений зависимой переменной Y и выборки по каждой из объясняющих переменных X1, X2, … , Xp. Число наблюдений n должно примерно на порядок и больше превышать число объясняющих переменных р и быть достаточно велико. Например, р=2 — две объясняющие переменные и n=22 – число наблюдений.