Учебные материалы по экономике | Автокорреляционная функция

(5.2)

(5.3)

Классическим стационарным рядом в узком смысле является случайный процесс типа "белый шум", у которого МО ay(t)=0, а возмущения et некоррелированы между собой. Таким образом, возмущения et в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения — нормальный белый шум.

Временной ряд уt (t=1, 2,…, n) называется стационарным (в широком смысле), если лишь числовые характеристики совместного распределения вероятностей n наблюдений у1+t, у2+t, … , уn+t не зависят от n, t и временного сдвига t. Содержательно стационарный ряд отражает процесс эволюции наблюдаемого явления.

При нарушении условия постоянства числовых характеристик временной ряд называется нестационарным. Нестационарный ряд отражает переход из одного устойчивого состояния в другое — развитие (деградация), у него есть начало и конец. Стационарный ряд может быть одной из составляющих нестационарного ряда.

5.2. Автокорреляционная функция

Важной характеристикой временных рядов является автокорреляционная функция r. Для стационарных рядов она зависит только от одной неслучайной переменной — временного сдвига (лага) t, для нестационарных — от двух переменных: сдвига (лага) t и момента начала отсчета t. Автокорреляционная функция определяется аналогично коэффициенту корреляции:

(5.4)

Статистической оценкой r(t) является выборочная автокорреляционная функция r(t). График этих функций называют коррелограммой:

(5.5)

Свойства автокорреляционной функции (рис. 5.1):

1. r(t)=r(-t) — функция четная.

2. r(t=0)=1.

3. При t®¥ çr ç®0.

r

1






		3 4	5
0	1 2			6 7	t

Рис. 5.1. Типичная автокорреляционная функция временного ряда

с циклической составляющей

Значения r(t=1), r(t=2), … называются коэффициентами корреляции 1-го порядка, 2-го порядка и т. д. (рис.5.1).

Существует также частная автокорреляционная функция rчаст(t) и ее выборочный аналог rчаст(t). Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 2-го порядка между членами временного ряда yt и yt+2 при устранении влияния yt+1 вычисляется по формуле:

(5.6)

где r(1), r(1,2), r(2) — выборочные коэффициенты автокорреляции между yt и yt+1, yt+1 и yt+2, yt и yt+2.

Автокорреляционная функция дает представление о характере временного ряда и помогает подобрать наиболее подходящую функцию регрессии.

5.3. Сглаживание временного ряда и прогнозирование

Одна из важнейших задач исследования временного ряда — выявление в нем основной тенденции, которая выражается неслучайной составляющей f(t). Последняя может быть трендом, либо трендом с циклической составляющей, либо трендом с циклической и сезонной составляющими — это зависит от цели исследования.

Выбор конкретной сглаживающей функции f(t) — сложная неформальная процедура. Для выбора используются по меньшей мере три типа информации.

Использование содержательной информации – семантический подход. Здесь строится качественная теория изучаемого процесса. Выдвигается гипотеза о причинах именно такого поведения процесса в прошлом и настоящем и о поведении в будущем. Например, при прогнозировании численности населения Калининградской области на период до 2020 г. мы имеем: устойчивый рост примерно до 1990 г., резкое сокращение примерно до 1998 г., постепенное уменьшение скорости сокращения до настоящего времени. Гипотеза: начавшийся подъем экономики, политическая стабилизация в течение нескольких лет остановят падение и начнется рост населения с постепенной стабилизацией на определенном уровне (по образцу западных стран).

Использование графической информации. Здесь временной ряд представляется в виде графика. Результаты наблюдения и содержательной теории о прошлом, настоящем и будущем процесса наносятся на этот график. Соответственно ему подбирается функция f(t) – линейная, или квадратичная, или степенная и т. п.

Использование аналитической информации. На основе содержательной и графической информации выбираются несколько функций, для каждой из которых строится регрессионное уравнение и рассчитываются показатели качества сглаживания (обычно с использованием компьютера), например, остаточная дисперсия, коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации и др. На основе такой аналитической информации решается — обычно экспертным путем — задача многокритериального выбора наилучшей сглаживающей функции f(t).

При прочих равных условиях рекомендуется отдавать предпочтение более простым функциям, например, линейным. Заметим также, что задача сглаживания часто решается в комплексе с задачей прогнозирования.

Наиболее часто используются такие функции:

— линейная

f(t)=bo+b1t

— полиномиальная n-го порядка

f(t)=bo+b1t+ … + bntn

— логиcтическая

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.