Вузы по экономике
Готовые работы по экономике
Как писать работы по экономике
Примеры решения задач
Решить задачу onlineРегрессионные динамические модели
Для получения наиболее эффективных значений параметра b применяется обобщенный МНК. Неизвестное значение r оценивается применением к регрессии (6.26) обычного МНК.
Можно пойти другим путем. Исключая et из уравнений (6.25) и (6.26), получим классическую ЛММР: возмущения nt независимы и имеют постоянную дисперсию 
:
|
yt — ryt-1 =b0(1-r) + åbj(xtj — rxt-1j)+n t t=1, … , n. |
(6.30) |
Таким образом, автокорреляция легко устраняется.
Вопросы для самопроверки
1. Как может выглядеть произвольная числовая матрица åb для р=2?
2. Как может выглядеть произвольная числовая матрица W для n=3?
3. В чем различие между классической линейной моделью и обобщенной?
4. Почему так важно получить метод оценивания с минимальной дисперсией?
5. Раскройте смысл теоремы Айткена.
6. Каким образом мы приходим к образу Y* обобщенной модели и что это нам дает?
7. Как формулируется критерий оптимальности (минимум суммы квадратов отклонений) в обобщенном МНК?
8. Какие практические сложности возникают в использовании обобщенного МНК и как предлагается их преодолеть?
9. Как отражается гетероскедастичность на свойствах вектора оценок b?
10. В чем суть теста ранговой корреляции Спирмена?
11. В чем суть теста Голдфелда-Квандта?
12. В чем суть теста Уайта?
13. С какой целью вводятся новые переменные (нормированные через СКО) и соответствующее уравнение регрессии (оно гомоскедастично)?
14. Почему метод наименьших квадратов называется взвешенным?
15. К каким последствиям приведет применение МНК при наличии автокорреляции?
16. В чем суть теста Бреуша-Годфри?
17. Позволяет ли знание ковариационной матрицы (6.29) применить к модели (6.25) обобщенный МНК?
18. Можно ли после устранения автокорреляции применить к полученной модели обычный МНК для получения оценок ее качества?
7. Регрессионные динамические модели
7.1. Последствия и причины стохастичности регрессоров
Ранее почти всегда предполагалось, что объясняющие переменные Xj (j=1, 2, …, p) — регрессоры — являются детерминированными. Это обычно имеет место для пространственных выборок, но не тогда, когда присутствуют регрессоры, значения которых образуют временные ряды. И здесь важным является степень коррелированности регрессоров с ошибками регрессии e. Будем предполагать, что Хt и Yt — стационарные временные ряды.
Рассмотрим три случая.
1. Регрессоры Х и ошибки регрессии e не коррелируют. Это значит, что генеральная ковариация Cov(xs, et)=0 для всех s, t=1, 2, …, n. В этом случае оценка b является несмещенной и состоятельной.
2. Регрессоры Х не коррелируют с ошибками e в данный момент t, но коррелируют в более ранние моменты времени t-1, t-2 … . В этом случае оценка b перестает быть несмещенной, но остается состоятельной.
3. Регрессоры Xt коррелированы с ошибками et в том числе в одинаковые моменты времени. Оценка b в этом случае будет смещенной и несостоятельной.
Таким образом, коррелированность регрессоров и ошибок приводит к значительно более неприятным последствиям, чем гетероскедастичность или автокорреляция. Неадекватными являются как сами оценочные значения параметров, так и результаты тестирования гипотез — исследования качества уравнения регрессии.
Существуют две основных причины коррелированности регрессоров и ошибок. Первая причина — на ошибку e воздействуют те же факторы, что и на сами регрессоры. Воздействие на ошибку осуществляется через воздействие на результирующую переменную Y. Например, пусть в парной регрессии Х — себестоимость перевозки в расчете на тонно-километр, а Y — цена перевозки в руб./т-км. Очевидно, что на себестоимость Х и цену Y будут одинаково влиять протяженность маршрута, состояние дорог и т. п. Вторая причина коррелированности регрессоров и ошибок — случайные ошибки при измерении Х.
Ниже рассмотрены методы исключения коррелированности регрессоров и ошибок.
7.2. Устранение коррелированности регрессоров и ошибок методом инструментальных переменных
Суть метода состоит в подборе новых – инструментальных – переменных Zj (j=1, 2, … , h), которые тесно коррелируют с Xj и не коррелируют с e. Обычно количество инструментальных переменных Z не меньше, чем количество исходных переменных X. Соответствующая оценка параметров регрессии будет состоятельной:
|
bZ=(Z’X)-1Z’Y=(Z’X/n)-1(Z’Y/n), |
(7.1) |
где X, Y, Z – матрицы значений наблюденных переменных.
Для уравнения парной регрессии формула (7.1) примет вид:
|
|
(7.2) |
.Очевидно, что при n®¥ по вероятности bZ®b, что и означает состоятельность оценок (7.1) и (7.2), но отсюда не следует их несмещенность, не говоря уже об эффективности – минимальной ковариации.
Как находить нужные инструментальные переменные? В работе [6, с.181] отмечается: "Дать строгий однозначный ответ … невозможно. Все зависит от конкретной ситуации. Может так случиться, что инструментальных переменных нельзя найти, а может быть, что существует и несколько таких инструментов".
Например, если изучается зависимость Y – среднедушевых расходов семей на определенный товар (руб./чел.-мес.) от ненаблюдаемой переменной X – истинного среднедушевого дохода семей (руб./чел.-мес.), то в качестве инструментальной переменной можно взять Z – размер объявленного среднедушевого дохода семьи (руб./чел.-мес.).
Практическая реализация метода инструметальных переменных приводит нас к двухшаговому методу наименьших квадратов:
— сначала осуществляется регрессия Х на Z и находятся прогнозные значения 
, они теперь и будут считаться новыми независимыми переменными;
— искомая оценка вектора параметров b строится с помощью обычной регрессии Y на .
Таким образом, в двухшаговом МНК собственно МНК применяется дважды: сначала для построения регрессоров , а затем для нахождении оценки b.
В заключение заметим, что вопрос о необходимости использования инструментальных переменных решается в форме проверки статистической гипотезы. Соответствующая процедура носит название теста Хаусмана.
Вопросы для самоконтроля
1. Каквовы свойства оценки "b" при коррелированности Xt и 
?
2. Назовите две причины коррелированности регрессоров x и ошибок 
.
3. Приведите пример инструментальных переменных.
4. В чем суть двухшагового метода наименьших квадратов?
Приложение 1
1. Основные понятия теории вероятностей
и математической статистики
1.1. Случайные величины и их характеристики
Вероятностью Р(А) события А называется численная мера степени объективной возможности появления этого события. Вероятность события А определяется как отношение числа случаев m, благоприятствующих его появлению, к общему числу случаев n: Р(А) = m/n. Например, рассчитаем вероятность появления грани кубика с четным числом. Здесь m=3 (числа 2, 4, 6), n=6 (числа от 1 до 6). Окончательно, Р(А)= m/n = 3/6=0,5. На практике такой метод определения вероятности применим редко.
В качестве оценки вероятности Р(А) обычно используется отношение частоты w появления события А в n испытаниях: Р(А) » w/n.
Случайной величиной (СВ) называют переменную, которая в результате испытаний принимает одно из возможного множества своих значений, наперед неизвестное.
Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно (счетность означает реальную или принципиальную возможность перенумеровать его элементы, хотя бы их и было бесконечно много).
Для непрерывной СВ множество ее значений всегда бесконечно и несчетно, например, все действительные числа на отрезке [0, 2]. Вероятность любого ее значения равна нулю: Р(Х=х)=0, а вероятность попадания в интервал не зависит от того, открытый он или закрытый: Р(х1<Х<х2) = Р(х1£Х£х2).
Полной характеристикой СВ является ее закон распределения (ЗР). Законом распределения называют всякое соотношение, которое связывает возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.
Для дискретной СВ закон распределения задается формулой или таблично (ряд распределения) (табл. 1.1) или графически (рис. 1.1).
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%