Учебные материалы по экономике | Проверка статистических гипотез

Достоинство метода максимального правдоподобия: получаемые с его помощью оценки состоятельны, асимптотически (при n®¥) эффективны и имеют асимптотически (при n®¥) нормальный ЗР.

Пусть имеется выборка x1, x2, … , xn, по которой методом максимального правдоподобия оцениваются параметры распределения СВ Х. Тогда:

выборочная средняя = ånixi/n,

выборочная дисперсия s2 = åni(xi — )2/n,

выборочная доля w=m/n.

Здесь и w — несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки для МО а и вероятности р, а s2 — смещенная, но состоятельная оценка дисперсии s2.

Обычно в качестве оценки используется исправленная выборочная дисперсия, которая является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии s2.

Мы рассмотрели точечные оценки параметров. Помимо них существуют интервальные оценки.

Интервальной оценкой параметра Q называется интервал (, ), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра Q. Интервал (, ) называется доверительным, а вероятность g — доверительной вероятностью (надежностью) оценки. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и растет с ростом доверительной вероятности g.

Пример построения доверительного интервала. Пусть x1, x2, … , xn, — выборка, полученная случайным отбором с повтором из генеральной совокупности с НЗР. Пусть и — средние выборочная и генеральная, s — выборочное СКО, — СКО выборочной средней. Поскольку статистика (—)/= (—) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью g будет таким:

(— tg, n-1, + tg, n-1).

(1.39)

1.8. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется любое предположение о свойстве параметра или неизвестного закона распределения. При этом возможны четыре исхода относительно основной — нулевой — гипотезы Но, (табл. 1.2) . Вероятность a допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости критерия.

Таблица 1.2

Гипотеза Но	Н0 принимается	Н0 отвергается
Но верна	Правильное решение	Ошибка 1-го рода (вероятность a) – уровень значимости критерия
Но неверна	Ошибка 2-го рода (вероятность b)	Правильное решение: вероятность 1-b есть мощность критерия

Суть проверки гипотезы состоит в том, что используется статистика, полученная по выборке x1, x2, … , xn. Затем по таблице определяется критическое значение Qкр такое, что если гипотеза Но верна, то вероятность Р(> Qкр) пренебрежимо мала. Поэтому, если обнаружится, что > Qкр, то Но отвергается. Если же £ Qкр, то гипотеза Но принимается.

Вероятность 1-b не допустить ошибку 2-го рода называется мощностью критерия.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н1 (она является отрицанием гипотезы Но ) выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область. Границы критической области при заданном a определяются из соотношений:

· для правосторонней критической области:

Р( > Qкр) = a,

(1.40)

· для левосторонней критической области:

Р( < Qкр) =a,

(1.41)

· для двусторонней критической области:

Р( < Qкр.1) = Р( > Qкр.2) = a/2.

(1.42)

Проверка статистической гипотезы не дает логического (дедуктивного) доказательства ее истинности или ложности. Принятие гипотезы Но является лишь правдоподобным, не противоречащим опыту утверждением – индуктивным доказательством.

Приложение 2
Элементы матричной алгебры

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (иногда – переменных или функций). С помощью матриц удобно проводить алгебраические преобразования и представлять полученные результаты.

Пример. Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:

(2.1)

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме:

(2.2)

В форме алгебраического матричного уравнения подобные системы будут иметь одинаковый вид:

АХ=В,

(2.3)

где

— квадратная матрица коэффициентов размера 2х2;

— матрица-столбец искомых неизвестных размера 2х1;

— матрица-столбец правых частей уравнений размера 2х1.

Операции над матрицами. Матрицы можно суммировать, вычитать, умножать либо делить на скаляр. Делается это просто — почленно. Результатом будет матрица того же размера.

Пример 2.1. Суммирование двух матриц:

Пример 2.2. Умножение матрицы на скаляр:

Сложнее операция перемножения двух матриц. Различают умножение слева и справа, поскольку эта операция некоммутативна. Перемножаемые матрицы должны иметь соответствующие размеры (1-й индекс — число строк, 2-й — число столбцов): Аm1xn1Bn1xn2 = Cm1xn2. При перемножении матриц повторяется одна и та же операция: очередная строка левой матрицы скалярно умножается на каждый столбец правой матрицы.

Пример 2.3. Перемножение двух квадратных матриц:

Операция транспонирования матрицы (обозначается штрихом или верхним индексом т) состоит в повороте матрицы на 90 градусов: 1-я строка становится 1-м столбцом, 2-я строка становится 2-м столбцом и т. д.

Пример 2.4. Транспонирование матрицы:

(2.4)

Операция обращения матрицы является самой сложной, включающей в себя много понятий и операций. Аналогом обратной матрицы в арифметике является обратное число по отношению к данному. Например, дано число 9. Обратным ему будет число 9-1 =1/9.

Проверка: 9×9-1 = 9-1 9=1. Аналогом единицы в матричной алгебре является квадратная единичная матрица Е, имеющая всюду нули, а на главной диагонали — единицы.

Очевидно, что АЕ=ЕА=А. Из определения следует также, что АА-1=А-1А =Е. Обращению подлежат, во-первых, только квадратные матрицы, а во-вторых, неособенные, т. е. такие, определитель которых не равен нулю. Заметим, что в арифметике число 0 является особенным, поскольку не имеет обратного числа.

Формула обращения матрицы А:

А-1 =(1/çА ç)(Аij)’,

(2.5)

где çА ç — определитель матрицы А,

(Аij)’ — транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

Примечание: алгебраическим дополнением называется минор, взятый со своим знаком. Минор для ij-элемента матрицы находится как определитель подматрицы, получаемой из данной матрицы путем вычеркивания из нее i-й строки и j-го столбца.

Пример 2.5. Для исходной матрицы А найти матрицу алгебраических дополнений (Аij):

(2.6)

Пример 2.6. Найти определитель матрицы А из примера 2.5.

Решение. Определитель имеет третий порядок. Его можно вычислить непосредственно, а можно — путем разложения на определители второго порядка. Выберем второй подход:

.

Поскольку определитель çА ç отличен от нуля, то матрица А неособенная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

Пример 2.7. Для матрицы А из предыдущего примера найти обратную матрицу А-1:

(2.7)

Пример 2.8. Проверить равенство АА-1 =Е:

(2.8)

В результате проверки получена единичная матрица Е, что и следовало ожидать.

Литература

1. Айвазян С. А, Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.

3. Замков О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. – М.: ГУ ВШЭ, 2001. – 122 с.

4. Катышев П. К, Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.

5. Кремер Н. Ш, Путко Б. А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

6. Магнус Я. Р, Катышев П. К, Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. 2000. – 400 с.

7. Настин Ю. Я. Эконометрика: Методические указания и задания для контрольной работы. – Калининград: БИЭФ, 2004.

8. Практикум по эконометрике: Учебное пособие для вузов / Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. – 191 с.

9. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. – 342 с.

Юрий Яковлевич Настин

Эконометрика

Учебное пособие

Редактор Э. С. Круглова

Изд. лиц. ЛР №071456 от 23.06.97 г. Сдано в набор 04.02.03 г. Подписано в печать 14.04.03 г. Бумага офсетная. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,8. Уч. — изд. л. 5,0. Тираж 200 экз. Заказ 37.

Издательство Балтийского института экономики и финансов (БИЭФ).

236029, г. Калининград обл., ул. Горького, 23.

Проверка статистических гипотез

1.8. Проверка статистических гипотез

Эконометрика

Наташа

Узнать стоимость за 15 минут

Распродажа дипломных

Подпишись на наш паблик в ВК

Нужна работа?

	— квадратная матрица коэффициентов размера 2х2;
	— матрица-столбец искомых неизвестных размера 2х1;
	— матрица-столбец правых частей уравнений размера 2х1.