Основные распределения случайных величин

1.3. Основные распределения случайных величин

1. Дискретная СВ имеет биноминальный ЗР, если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … , n с вероятностями (формула Бернулли):

Р(Х=m) = pmqn-m,

(1.12)

где 0 < p < 1, q = 1-p, m = 0, 1, … ,n.

Биноминальный ЗР представляет собой закон распределения числа X = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одинаковой вероятностью р. Числовые характеристики ЗР: М(Х) = np, D(X) = npq.

2.  Дискретная СВ Х имеет ЗР Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, … ,…, m, … с вероятностями:

.

(1.13)

Для ЗР Пуассона М(Х) = l, D(X) = l.

3. Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) ЗР, если ее плотность вероятностей имеет вид:

(1.14)

Числовые характеристики: М(Х) = 1/l, D(X) = 1/l2.

4. Непрерывная СВ Х распределена по равномерному ЗР, если ее плотность вероятности имеет вид:

(1.15)

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)2/12.

5.  Непрерывная СВ Х имеет нормальный ЗР (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

jN(х) = .

(1.16)

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = a, D(X) = s2 . Если а=0 и s2=1, то такой нормальный ЗР называется стандартным (нормированным). С его помощью определяется функция (интеграл вероятностей) Лапласа, которая равна площади под стандартной нормальной кривой N(0, 1) на отрезке [-х, х]:

Ф(х) = .

Через функцию Лапласа выражается нормальная функция распределения СВ Х :

(1.17)

Свойства СВ Х, распределенной по НЗР:

1)  Вероятность попадания СВХ в интервал [-х, х]:

P(x1 £ X £ x2) =

(1.18)

где t1 = (x1- а)/s и t2 = (x2- а)/s.

2)  Вероятность того, что отклонение СВ Х от МО а не превысит некоторую D>0, равна:

где t=D/s.

Отсюда вытекает правило трех сигм: если СВ Х имеет ЗР N(a, s2), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3s, а+3s).

6. Распределением c2 (хи-квадрат) с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых СВ, распределенных по стандартному НЗР:

,

(1.20)

где Z i имеет ЗР N(0, 1).

7. Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение СВ t:

,

(1.21)

где Z — СВ с НЗР N(0, 1), c2 — не зависимая от Z СВ с c2-распределением с k степенями свободы. Уже при k > 30 распределение можно считать нормальным.

8. Распределением Фишера-Снедекора (F-распределением) называется распределение СВ F:

,

(1.22)

где c2(k1) и c2(k2) — СВ, имеющие c2 — распределения с k1 и k2 степенями свободы.

1.4. Многомерные случайные величины и условные законы распределения

Упорядоченный набор Х= (X1, X2, … , Xn ) случайных величин называется n-мерной СВ.

Функцией распределения n-мерной СВ (X1, X2, … , Xn ) называется функция F(x1, x2, … , xn), являющаяся вероятностью совместного выполнения n неравенств:

Двумерная функция распределения:

Свойства ФР F(x, y):

1.  0 £ F(x, y) £ 1.

2.  Если x1 < x2, то F(x1, y) £ F(x2, y), аналогично и для y1 < y2 .

3.  F(x, -¥) = F(-¥, y) = F(-¥,-¥) = 0.

4.  F(x, ¥) = F1(x), F(¥, y) = F2(y), где F1(x) и F2(y) — функции распределения СВ Х и Y соответственно.

5.  F(¥,¥) = 1.

Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее ФР:

j(x, y) = Fxy”(x, y) =

(1.25)

Свойства плотности вероятности двумерной СВ j(x, y):

1.  j(x, y) ³ 0.

2.  P((x, y) Î D) = .

3.  F(x, y) = .

4.  .

Условным ЗР СВ Х, взятой из двумерной СВ(Х, Y), называется закон распределения СВ Х, полученный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение. Условная плотность вероятности jy(x) двумерной СВ (Х, Y) определяется формулой:

jy(x) = .

Числовые характеристики условного распределения: условное МО а(у)=Му(Х) и условная дисперсия s2(у)=Dy(X). Другие их обозначения: М(Хêу) и D(Хêу).

Условное МО СВ Y при Х=х, т. е. Мх(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии (регрессией) Y по Х.

Пример. Пусть двумерная СВ (Х, Y) и ее ЗР j(x, y) являются некоторой моделью железной дороги, причем СВ Х — количество порожних вагонов в суточной заявке порта, СВ Y — количество поставленных порожних вагонов за сутки в порт. Тогда регрессия Мх(Y) показывает соотношение между заявкой и поставкой вагонов в среднем (рис. 1.3).

Мх(Y) (шт.)