Учебные материалы по экономике | Обобщенная линейная модель множественной регрессии

f(t)= a / (1+be-ct)

— Гомперца

logcf(t)=a-brt, где 0<r<1

Для сглаживания и прогнозирования чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t — как объясняющая:

yt=F(t) + et,

(5.7)

где — et — возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа: независимые и одинаково распределенные случайные величины с нормальным законом распределения.

Другим методом сглаживания временного ряда (и в некоторой степени — прогнозирования) является метод скользящих средних.

Пример: дан временной ряд 5, 7, 11, 12, 13, 16. Выполнить сглаживание методом скользящих средних, используя среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m=3.

Решение.

Вычисляем значения сглаженного ряда: z2=(5+7+11)/3=7,7; z3=(7+11+12)/3=10,0; z4=(11+12+13)/3=12,0; z5=(12+13+16)/3=13,7. Рекомендуем самим построить графики исходного и сглаженного временных рядов.

Для сглаживания методом скользящих средних помимо простой среднеарифметической используется также средневзвешенная арифметическая, например: z2 = (0,25×5+ 0,50×7 + + 0,25×11) = 7,5 и т. д.

Прогнозирование на основе временных рядов обычно основано на принципе экстраполяции: тенденцию развития, установленную на основании прошлого, можно без большой погрешности распространить и на будущее — эволюционное развитие процесса. Такой прогноз эффективен на краткосрочную и — реже — среднесрочную перспективу.

Прогноз может быть точечным и интервальным. Величина интервала прогноза для t=tn+k может быть задана, тогда исчисляется вероятность попадания истинного значения уt в этот интервал. Чаще поступают наоборот: задаются доверительной вероятностью попадания в интервал, а затем исчисляют величину интервала. Ясно, что величина интервала тем больше, чем больше задана вероятность попадания и чем больше период экстраполяции (значение k) — прогностический конус.

Для прогнозирования на основе некоторых временных рядов естественно в качестве объясняющих переменных вводить лаговые переменные (от слова лаг — временной сдвиг): yt-1, yt-2, …, yt-р. Например, если вы, как финансовый менеджер предприятия, хотите прогнозировать курс валюты, то самое эффективное — использовать лаговые переменные, поскольку вам практически недоступны текущие значения макроэкономических показателей ведущих валютных площадок мира. Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид:

yt=bо+ b1 yt-1+ b2 yt-2 +…+ bр yt-р + et ; (t=1, 2, … , n).

(5.8)

Вопросы для самоконтроля

1. В чем отличие временного ряда от пространственной выборки?

2. Назовите и охарактеризуйте компоненты временного ряда.

3. Назовите типы задач анализа временного ряда.

4. В чем отличие и сходство стационарных рядов в узком и широком смысле?

5. Охарактеризуйте как можно полнее временной ряд типа белого шума, каким образом он присутствует в теории регрессионного анализа, почему он так называется, как он может быть изображен графически.

6. Почему çr(t)ç убывает при увеличении t?

7. Какой вид должна иметь коррелограмма случайного процесса типа "белый шум"?

8. В чем суть содержательного подхода к выбору сглаживающей функции f(t)?

9. В чем суть графического подхода к выбору сглаживающей функции f(t)?

10. Может ли метод скользящих средних конкурировать с МНК?

11. В каких случаях эффективно применение авторегрессионных моделей?

6. Обобщенная линейная модель множественной регрессии

6.1. Признаки обобщенной линейной модели

Коренное отличие обобщенной модели от классической состоит только в виде ковариационной квадратной матрицы вектора возмущений: вместо матрицы åe=s2Еn для классической модели имеем матрицу åe=W для обобщенной. Последняя имеет произвольные значения ковариаций и дисперсий. Например, ковариационные матрицы классической и обобщенной моделей для двух наблюдений (n=2) в общем случае будут иметь вид:

,

.

Формально обобщенная линейная модель множественной регрессии (ОЛММР) в матричной форме имеет вид:

Y = Xb + e

(6.1)

и описывается системой условий:

1. e — случайный вектор возмущений с размерностью n; Х — неслучайная матрица значений объясняющих переменных (матрица плана) с размерностью nx(p+1); напомним, что 1-й столбец этой матрицы состоит из n единиц;

2. M(e) = 0n — математическое ожидание вектора возмущений равно ноль-вектору;

3. åe= M(ee¢) = W, где W — положительно определенная квадратная матрица; заметим, что произведение векторов e‘e дает скаляр, а произведение векторов ee¢ дает матрицу размерностью nxn.

4. Ранг матрицы Х равен р+1, который меньше n; напомним, что р+1 — число объясняющих переменных в модели (вместе с фиктивной переменной), n — число наблюдений за результирующей и объясняющими переменными.

Следствие 1. Оценка параметров модели (6.1) обычным МНК

b= (X’X)-1X’Y

(6.2)

является несмещенной и состоятельной, но неэффективной (неоптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова). Для получения эффективной оценки нужно использовать обобщенный метод наименьших квадратов.

Следствие 2. Для классической модели ковариационная матрица вектора оценок параметров определялась формулой:

åb = s2(X’X)-1.

(6.3)

Эта оценка для обобщенной модели является смещенной (следовательно, и неэффективной). В работе [1, с. 676] эта оценка названа неработоспособной и неприменимой для обобщенной ЛММР.

Следствие 3. Для обобщенной модели ковариационная матрица вектора оценок параметров определяется другой формулой (вывод см. в работе [5, с.151]):

åb* = (X’X)-1X’WX(X’X)-1.

(6.4)

6.2. Обобщенный метод наименьших квадратов

Проблема эффективности линейной несмещенной оценки вектора b для обобщенной ЛММР решается с помощью теоремы Айткена.

Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора b для обобщенной ЛММР оценка

b* = (X’W-1X)-1X’W-1XY

(6.5)

имеет наименьшую ковариационную матрицу (доказательство см. в работе [5, с.152]). При этом математическое ожидание оценки b* равно b: М(b*)=b, т. к. М(e)=0.

В случае классической модели, т. е. при выполнении требования åe=W=s2Еn, оценка b* обобщенного МНК совпадает с оценкой b обычного МНК.

Доказательство теоремы Айткена основано на утверждении матричной алгебры: если W — симметричная невырожденная матрица nxn, то она представима (хотя и неединственным способом) в виде произведения некоторых двух матриц:

W=PP’,

(6.6)

где Р — невырожденная матрица nxn.

От обобщенной модели Y=Xb+e путем умножения слева на обратную матрицу Р-1 перейдем к ее некоторому образу Y*:

Y*= Р-1Y= Р-1Xb+ Р-1e=X*b+e*.

(6.7)

Модель (6.7) удовлетворяет всем требованиям КЛММР. Следовательно, оценка b* по выражению (6.5) или аналогично (6.2):

b*= (X*’X*)-1X*’Y*

(6.8)

наиболее эффективна в классе всех линейных несмещенных оценок, являясь точкой минимума обобщенного критерия МНК:

S*= åe*i2=e*’e*=(Y*-X*b)’(Y*-X*b)=e’We,

(6.9)

где e*= Р-1e — см. выражение (6.7).

Для обобщенной регрессионной модели, в отличие от классической, коэффициент детерминации, вычисляемый в матричных обозначениях по формуле:

(6.10)

не является удовлетворительной мерой качества модели. Он может даже выходить за интервал [0; 1], и добавление (удаление) объясняющей переменной не обязательно приводит к его увеличению (уменьшению). Поэтому коэффициент детерминации используется только как приближенная характеристика.

Для практической реализации обобщенного МНК необходимо знать ковариационную матрицу W вектора возмущений, что случается весьма редко. Поэтому приходится вводить дополнительные условия относительно структуры матрицы W. Только тогда мы приходим к практически реализуемому обобщенному МНК. Наиболее важные виды структур матрицы W рассмотрим позднее.

Обобщенная линейная модель множественной регрессии

6.1. Признаки обобщенной линейной модели

6.2. Обобщенный метод наименьших квадратов

Наташа

Узнать стоимость за 15 минут

Распродажа дипломных

Подпишись на наш паблик в ВК

Нужна работа?