Двумерный нормальный закон распределения

X (шт.)

Рис. 1. 3

Свойства условного МО:

1.  Если Z = z(X), где z — неслучайная функция от Х, то Mz(Mx(Y)) = =Mz(Y), в частности, М(Мх(Y)) = М(У).

2.  Если Z = z(X), то Mz(Z×Y) — Z×Мх(Y).

3.  Если СВ Х и Y независимы, то Мх(Y) = М(Y) (на рис. 1.3 это была бы горизонтальная прямая).

Для независимых СВ j(x, y) = j1(x)∙j2(y), или jу(x) = j1(x) и jх(y) = j2(y), где j1 и j2 — плотности одномерных СВ Х и Y, jу(x) и jх(y) — плотности условных распределений Х по Y и Y по Х.

Зависимость между двумя СВ называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(Х, Y) СВ Х и Y называется МО произведения отклонений этих величин от своих МО:

Другие обозначения ковариации: Кху, .

Ковариация двух СВ характеризует, во-первых, степень их взаимозависимости, во-вторых, их рассеяние вокруг точки (ах, ау).

Для измерения только тесноты связи двух СВ применяют безразмерный коэффициент корреляции r:

Свойства ковариации:

1.  Cov(Х, Y) = 0, если Х и Y независимы.

2.  Cov(Х, Y) = М(Х, Y) — ах ау.

3.  êCov(Х, Y)ê £ sхsу.

Свойства коэффициента корреляции r:

1.  -1 £ r £ 1.

2.  r = 0, если СВ Х и Y независимы. Обратное утверждение неверно.

3.  если êr ê = 1, то СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

1.5. Двумерный нормальный закон распределения

СВ (Х, Y) распределена по двухмерному нормальному закону распределения, если ее совместная плотность имеет вид:

Здесь пять числовых характеристик: М(Х) = ах, М(Y) = ау, D(Х) = sх2, D(Y) =sу2, rху = r.

Одномерные ЗР этих же СВ Х и Y также нормальные: N(aх, sх2), N(ay, sy2). Нормальными являются и условные ЗР Х по Y и Y по Х с числовыми характеристиками:

Как видно из уравнений (1.30) и (1.32), регрессии Му(Х), Мx(Y) нормально распределенных СВ являются прямыми линиями. Отсюда ясно, что для НР СВ из некоррелированности следует их независимость (при r=0 параметры условных ЗР, а значит и сами условные распределения, не зависят от смежной переменной из пары (Х, Y)).

Двумерный НЗР обобщается на р-мерный для СВ Х=(Х1, Х2, … , Хр). Он характеризуется вектором математических ожиданий а=(а1, а2, … , ар) и ковариационной матрицей åх = (sij)рxр, где sij =М((Хi-ai)(Xj-aj)) – смешанный момент второго порядка – аналог дисперсии одномерной случайной величины.

1.6. Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается следующее установленное свойство: совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Этот закон раскрывается в форме нескольких теорем.

Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых СВ X1, X2, … , Xn ограничены одной и той же постоянной, то при n®¥ средняя арифметическая случайной величины сходится по вероятности к средней арифметической их МО а1, а2, … , аn:

Частота события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, при n®¥ сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

Теорема Ляпунова. Если независимые СВ Х1, Х2, … , Хn имеют конечные МО и дисперсии, при этом ни одна из этих характеристик резко не выделяется среди остальных, то при n®¥ ЗР их суммы åXi неограниченно приближается к нормальному.

1.7. Точечные и интервальные оценки параметров

Оценкой параметра Q называют всякую функцию от результатов над n наблюдениями СВ Х, посредством которой судят о значении параметра Q. Оценку называют также статистикой.

Если Q — величина детерминированная, то ее оценка — случайная величина, которая в смысле качества оценивания может быть лучше или хуже. Качество оценивания определяется по трем критериям: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Оценка параметра Q называется несмещенной, если ее МО равно параметру Q:

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка параметра Q называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к Q:

Как видно, с увеличением объема n выборки значительные ошибки оценивания становятся все менее вероятными.

Оценка параметра Q называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного объема n. Эффективность является решающим критерием качества оценивания, поскольку совмещает в себе два критерия.

Основным методом получения оценок параметров по данным выборки является метод максимального правдоподобия. Согласно ему в качестве оценки принимается такое ее значение, которое максимизирует функцию правдоподобия L:

Функция L есть плотность вероятности (вероятность) совместного появления данных выборки x1, x2, … , xn, Получаемая из выражения Arg(L(x1, x2, … , xn, Q) max) = оценка такова, что имеющиеся у нас наблюдения являются наиболее правдоподобными.