Автокорреляция остатков временного ряда

Таким образом, неизвестные параметры уравнения регрессии находим:

—  если применяем обычный метод наименьших квадратов, то минимизируя остаточную сумму квадратов:

S=e’e=å( — yi)2;

—  если применяем обобщенный метод наименьших квадратов, то минимизируя выражение:

S=e’W-1e;

—  если применяем взвешенный метод наименьших квадратов, то минимизируя взвешенную остаточную сумму квадратов:

S=å(-yi)2/si.

В последнем случае мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит к получению наиболее эффективных оценок параметров модели.

6.6. Автокорреляция остатков временного ряда

и тесты на ее наличие

В регрессионных моделях пространственных выборок отсутствует влияние предыдущих наблюдений на последующие. Как следствие — выполняется условие независимости возмущений: r(ei, ej)=0. Совсем другая картина наблюдается во временных выборках. Здесь предыдущее значение уровня ряда, как правило, оказывает значительное влияние на последующее значение. Примером может служить курс валют на завтра – основой для его формирования служит сегодняшний курс.

Соответствующие регрессионные модели называются моделями с наличием автокорреляции. Последняя может быть положительной (завтра вероятнее всего будет то же, что и сегодня — устойчивость) и отрицательной (завтра вероятнее всего будет совсем не то же, что сегодня — маятник).

Процессы с положительной автокорреляцией содержат низкочастотную периодическую составляющую (еженедельный пик торговли на рынке). Процессы с отрицательной автокорреляцией не содержат такой составляющей и больше похожи на "белый шум".

Обычный метод наименьших квадратов при наличии коррелированности ошибок регрессии дает несмещенные и состоятельные, но неэффективные оценки коэффициентов регрессии. Как итог — оценки их дисперсий несостоятельные и смещенные, что делает результаты тестирования гипотез недостоверными.

Как правило, при наличии автокорреляции наибольшее влияние на последующее значение оказывает предыдущее значение. Поэтому отсутствие корреляции между соседними членами ряда служит хорошим критерием того, что корреляция отсутствует вообще.

Тест Дарбина-Уотсона основан именно на такой идее. Нулевая гипотеза Но: автокореляция отсутствует. Критическая статистика Дарбина-Уотсона имеет вид:

Статистика d связана с выборочным коэффициентом корреляции (тем точнее, чем больше n):

При r=-1 d=4 (отрицательная автокорреляция), при r=0 d=2 (отсутствие автокорреляции), при r=+1 d=0 (положительная автокорреляция).

На рис. 6.3 изображена связь значения d-статистики с результатами тестирования для n>14 (dн и dв — нижняя и верхняя границы — находятся по таблицам):

1.  dн <d<4- dв — гипотеза Но не отвергается (принимается).

2.  dн <d<dв — гипотеза Но не отвергается и не принимается — область неопределенности критерия.

3.  0<d<dн — принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции.

4.  4-dн<d<4 — принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

0 dн dв 2 4-dв 4-dн 4

Рис. 6.3. Схема теста Дарбина-Уотсона

Недостатки теста Дарбина-Уотсона: наличие зон неопределенности критерия, ограниченность результата — выявление корреляции только между двумя соседними членами ряда.

Тест Бреуша-Годфри основан на выражении корреляции между соседними наблюдениями авторегрессионным уравнением первого порядка:

где et — остатки регрессии, полученные обычным МНК.

Тест состоит в следующем: если коэффициент регрессии r значимо отличается от нуля, то автокорреляция имеет место.

Преимущества этого теста перед тестом Дарбина-Уотсона:

—  не содержит зон неопределенностей;

—  может измерять наличие автокорреляции не только между смежной парой возмущений, но и с учетом других возмущений: е t-2 , е t-3 . Для этого в уравнение (6.21) нужно ввести эти регрессоры.

Существуют и другие тесты.

6.7. Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции

Основная причина автокорреляции ошибок — наличие скрытых регрессоров. Их влияние и проявляется через случайную составляющую. Это говорит о низком качестве отбора значимых факторов на начальном этапе построения регрессионной модели и выборе самой модели. Все это называется идентификацией модели или временного ряда.

Очень часто скрытыми факторами являются лаговые объясняемые переменные yt-1, yt-2 и т. д. Действительно, если мы строим прогнозное уравнение регрессии курса валют, то именно эти лаговые переменные включим в уравнение в качестве объясняющих переменных в первую очередь. Другой класс объясняющих переменных — макропоказатели экономики: цена на нефть на мировом рынке, индексы активности экономики России и других стран, уровень политической (военной) напряженности в наиболее горячей точке планеты и т. п.

Таким образом, автокорреляция устраняется, если мы качественно выполним идентификацию временного ряда, т. е. построим модель такую, в которой остатки представляют собой "белый шум", а все регрессоры значимы.

Такая модель не единственна, поэтому выбирают самую простую из трех типов: авторегрессионную модель р-го порядка АR(p), модель скользящей средней q-го порядка MA(q) и авторегрессионную модель скользящей средней ARMA(p, q).

Авторегрессионная AR(p) модель (см. уравнение (5.8)) имеет вид:

Модель скользящей средней MA(q):

Авторегрессионная модель скользящей средней ARMA(p, q):

Чаще всего на практике используется метод проб и ошибок: проверяются на пригодность различные модели, начиная с самых простых.

В качестве ориентира для идентификации можно использовать автокорреляционую и частную автокорреляционую функции. Если все значения r(t) порядка выше q близки к нулю, то применяется модель МА с порядком не выше q. Например, из рис. 5.1 видно, что можно принять q»2.

Если все значения частной автокорреляционной функции порядка выше р близки к нулю, то применяется модель AR с порядком авторегрессии не выше р. В конечном счете мы и получим модель без авторегрессии.

В качестве примера рассмотрим авторегресионную модель 1-го порядка. Пусть мы имеем регрессионную модель

и пусть возмущения связаны наиболее просто – авторегрессионным процессом 1-го порядка:

где nt — "белый шум" (М(nt)=0 и D(nt)=s02) и r — коэффициент авторегрессии.

Отсюда из выражения (6.26) нетрудно получить формулу:

и далее для коэффициентов автокорреляции 1-го и m-го порядков:

На основе формул (6.27) и (6.28) можно записать ковариационную матрицу вектора возмущений e:

.

(6.29) Наташа Автор Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку. Распродажа дипломных  Скидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВК  Получи промокод на скидку 20% Нужна работа? Дипломная работа у наших партнеров